基于数学理解性学习的定理教学研究
——关于“平面向量基本定理”的教学及思考
李锋 林富春 林友枝（福建省连江第一中学）
定理教学是高中数学教学的重要内容，《普通高中数学课程标准(实验)》指出，教学要努力揭示数学定理的发展过程和本质，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解定理产生的背景和逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想，追寻数学发展的历史足迹。然而实际教学中，一些教师常常忽视定理的形成过程而在应用上“浓墨重彩”，认为只要多加训练使学生熟练便自然能理解所学定理。李士琦教授对这种“孰能生巧”的古训提出质疑，他在《熟能生巧吗?》一文中，研究了熟能生巧与深刻理解的关系，提出理解与操作训练的关系问题。可见，熟练并不一定能自然达到理解，片面强调机械记忆、模仿训练及复杂技巧无益于定理本质和蕴涵的数学思想的理解，徒然增加了学习的负担，而不理解的知识是难以记忆的，更说不上掌握和灵活应用了。数学知识只有被深刻理解，才具有迁移与应用的活性，才能成为支撑学生今后发展的有效资源。因此，关注学生理解、数学理解性学习的定理教学研究意义重大。
1 关于数学理解性学习的基本认识
数学理解就是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立新知识的个人心理表征，并不断完善和发展头脑中的数学知识网络，同时能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取和应用。数学理解性学习是指学生在理解基础上的数学学习，它不仅能够将新知识与已有知识联系起来，并在原有知识网络的基础上积极有效地纳入新知识从而构建一个更为完整、丰富的知识网络，而且能将新知识网络中的知识、方法、思想等灵活地迁移与应用。因此，数学理解性学习是一个目标指向明确的、不断建构复杂心理联系的具有灵活迁移性的学习过程。
2 基于数学理解性学习的定理教学设计
定理教学的主要任务有：了解定理背景、明确定理的结构、掌握定理的证法、明确定理的应用、了解有关定理之间的内在联系并建立定理体系。为有效完成任务，在定理教学中教师要重视学生的理解程度，运用系统方法对各种课程资源进行有机整合，促进学生的理解性学习，使学生理解数学定理产生的深刻背景和逐步形成的过程，体会其中的思想方法，领悟定理本质及丰富内涵并能熟练甚至是创造性地进行应用。具体方法是，教师先不直接给出相关定理，而是利用其丰富的现实生活背景提出与之有关联的一系列问题，或者将其还原为一个学生已经熟知的数学问题，创设最接近学生发展区的问题情境，使学生通过有效的师生交流，在解决数学问题的过程中自然得出定理进而掌握定理。显然，在这种教学方式下，学生自主探索定理产生的背景及蕴涵的思想，亲身经历定理的发生、发展过程，并深刻体验直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维历程。其结果必然是一个教师启发引导、学生积极参与、师生有效交互、学生自主建构、理解不断加深的高效课堂。
下面笔者以参加市优质课评比获奖的一节课“平面向量基本定理”为例，谈谈基于数学理解性学习的定理教学的一些思路及粗浅的体会。
2.1 内容解析
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是沟通代数、几何与三角函数，解决几何问题的有力工具；同时，向量还有着极其丰富的实际背景，蕴涵了丰富的数学思想，在数学和物理学中具有广泛应用。平面向量基本定理指出平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么平面内任意一点都可以由平面内的一个点及两个不共线向量来表示，这是引入平面向量基本定理的重要原因。另外，平面向量基本定理很容易迁移类比到空间向量基本定理，因此教学的重要性不言而喻。
2.2 教学过程简介
2.2.1 创设情境，自然引入新课
物理中学习了力与速度的分解，如图1，放在斜面上的物体受到的重力
可分解为使物体沿斜面下滑的力
和垂直于斜面的压力
，即
；飞机起飞时的速度
（设仰角为
）可分解为沿水平方向的速度
和沿竖直方向的速度
，即
。若
、
是同一平面内两个非零向量，
是这一平面内的任一向量，那么
与
、
之间有什么关系？怎样探求这种关系？
设计意图：以力与速度的分解作为开场情境，将与定理相关的问题特殊化处理，还原为学生熟知的物理知识，不仅使学生理解定理产生的实际背景，而且自然引发学生进行类比思考：给定平面内任意的两个非零向量，那么该平面内任一向量能否类似地进行分解？目标指向明确，直逼教学主题。
2.2.2 自主探究，逐步形成定理
探究1：对于平面内的任意一个向量，能否只用“一个”已知的非零向量来表示？如图2，若已知
，则
，
，
能否用
表示？
设计意图：由向量共线定理易知，只用“一个”已知的非零向量（如
）可以表示任意与之共线的向量（如
，
），但无法表示与之不共线的向量（如
），学生自然联想到能否用“两个”已知的非零向量来表示平面内任意一个向量。
操作1：已知如图3所示的非零向量
试分别作出向量：
.
问题1：对任意给定的实数
，你能作出形如
的向量吗（可以借助几何软件动态演示）？请叙述作图步骤.
设计意图：学生动手操作，进一步体会向量加法法则，为下面的逆向探究奠定思维基础。学生经历作图、观察、归纳、类比，直观感知“两个”不共线的向量
可以表示平面内任意形如
的向量。
探究2：反之，给定平面内任意两个向量
，平面内的任一向量
是否都可以用形如
的向量表示？如果能，这“两个”非零向量应满足什么条件？
操作2：已知如图4所示的非零向量
，试将向量
表示成
的形式。
问题2：上述向量
关于
的表示形式
（即
关于
的分解式）是唯一的吗（即同学们得到的结果是否一致）？改变
，如图5，向量
还能作上述分解吗？
问题3：如果
，如图6，向量
还能作上述分解吗？
设计意图：创设具体的问题情境，通过教师引导、学生自主思考、作图验证等活动，获得对本节“对给定的两个向量
，平面内任一向量
是否可以表示成
的形式”这一关键问题的初步体验：即共线时不能，不共线时总能，为下面进一步归纳出平面向量基本定理、深刻理解定理奠定基础。
探究3：更一般地，给定平面内任意两个不共线向量
，平面内任一向量
是否都可以用形如
的向量表示，该表达式是否唯一？能用语言叙述吗？
操作3：教师利用几何画板演示，通过改变向量
的方向及模的大小，引导学生观察发现取不同值时的图形特征，如图7。还可以通过改变向量
（图略），学生通过作图研究向量
与
的关系，并利用语言表述。
设计意图：理解定理的形成过程是定理教学的一项基本任务，根据探究发现学习理论与情境认知理论，基于理解性学习的要求，教师有计划、有目的、有步骤循序渐进地提供一系列有利于学生发现定理的研究素材，通过广泛而有效的教学交互活动，包括师生交互（教师必要的启发与引导）及生生之间的交互（学生独立思考与展开讨论），学生亲身经历实践观察、作图分析、归纳类比等思维活动，建立猜想，自然得出平面向量基本定理：如果
、
是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数
，
，使
。其中不共线的向量
、
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。在上述定理得出环节的教学中，学生经历了直观感知、操作确认、归纳猜想、反思建构等一些列目标明确的复杂而联系紧密的心理活动，深刻理解定理的背景及逐步形成的过程。
2.2.3 领悟内涵，构建定理体系
问题4：同一平面内基底唯一吗？基底中允许有零向量吗？
问题5：平面内的任一向量
在基底
、
下的分解式唯一吗？例如：若
，则
问题6：若
，则
问题7：若实数
，
中有且只有一个为0时，
与基底
，
有什么关系？
设计意图：在前面借助具体实例直观感知、通过数形结合作图探究、操作验证自然形成平面向量基本定理的基础上，进一步抽象概括，明晰定理的条件与结论，建立定理条件和结论之间的联系，挖掘定理的本质与内涵，理解有关定理之间内在联系（如问题7表明，向量共线定理是平面向量基本定理的特殊形式。事实上，一个非零的向量可以表示任一与之共线的向量，两个不共线的向量可以表示与之共面的任一向量，三个不共面的向量可以表示空间内的任一向量，这正是由一维的向量共线定理推广到二维的平面向量基本定理，再进一步推广到三维的空间向量基本定理，体现了类比思想），从而形成数学定理体系，有利于定理的内化、迁移与灵活应用。
2.2.4 迁移应用，深化定理理解
例1 如图8，已知梯形
，
，且
，
分别是
的中点. 在图中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。
例2 已知
是两个不共线的向量，
,若A，B，D三点在同一条直线上，求实数
的值。
设计意图：利用选定的基底来表示平面内任一向量是向量运算的起始步骤，虽然基本但很重要，学生必需熟练掌握。这一过程体现了化归与转化思想，无论什么向量，最终都可以用两个已知的基底向量表示，为向量的运算提供了极大的便利。例1是一道开放题，不同基底的选择影响到解题的繁简程度，通过本题，使学生认识选择适当基底的重要性，体会向量基本定理的作用；例2先将三点共线转化为向量共线，再利用平面向量基本定理所蕴涵的唯一性求解，体会向量共线定理与平面向量基本定理之间的联系，深化理解定理的本质与内涵。
拓展：如图9，在△ABC中，若N是AC上一点，且
,点P在BN上，试探究是否存在实数m，使
？
分析：因
三点共线，故设
，从而
，所以
设计意图：平面向量基本定理的形成和应用是一个循序渐进、逐步深化的过程，通过拓展性练习，使学生在前面的探究活动中获得的数学知识、数学技能、数学经验与数学方法能顺利内化，达到拓展双基、迁移能力的目的。进一步加强学生对定理的作用和价值的认识，理解知识之间的内部联系，建构良好的数学认知结构。
3 思考
当前，“为理解而教”作为一种重要的教学思想逐渐被广大教师所认同，关注学生理解、数学理解性学习的教学研究也备受重视。新课程倡导要密切关注学生的发展，要在教学中真正确立学生的主体地位并将学生的理解视为重要的关注点。因为数学知识只有被学生深刻理解了，才具有迁移与应用的活性，才能内化成为学生未来发展的有效资源；同时学生也只有理解了相关知识，才能享有根本意义上的主体地位，成为真正享受学习、理解学习的探究者。
通过本节课教学可以发现，基于数学理解性学习的定理教学一般包括创设问题情境、归纳猜想定理、明确条件与结论的联系、证明定理、应用定理、建立定理体系等六个步骤。教师首先创设一系列有目的的问题情境，然后展开积极有效的师生之间、生生之间的交流活动，让学生亲身经历直观感知、操作确认、归纳猜想、应用拓展等探究过程，自然地、水到渠成地得出定理，这非常有利于学生体会定理深刻的背景及逐步形成的过程，深刻理解定理的本质与内涵，从而能够应用定理甚至是创造性地应用定理解决实际问题。同时，学生经历了新旧知识的认知冲突与联系、新知识的同化与迁移等复杂的心理活动过程，有利于培养学生的直觉思维，大力发展学生包括合情推理在内的推理论证能力，培养学生的应用意识和创新精神，提升数学素养。
参考文献：
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[5] 李锋. 基于人本理念 体现教育价值——一类背景相似圆锥曲线问题的变式探究及思考[J].数学教学研究，2015（12）：63–68.