基于数学理解性学习的概念教学设计研究
——以“椭圆的定义”的教学为例
李锋（福建省连江第一中学）
1 引言
概念是思维的细胞，概念教学是数学教学的重要内容，理解概念是一切数学活动的基础。然而，一些教师急功近利，概念教学走过场，往往采用“一个定义，几项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分概括本质特征的时间与机会，认为多做几道题更实惠些。以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正。否则，学生在数学上耗费了大量的时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空。
近年来，各种数学教学理论研究上的突破与发展，为揭示概念教学的深层机制提供了科学依据；有针对性、可操作性强的数学教学研究方法，也为概念教学研究提供了科学指导。其中，“为理解而教”作为一种重要的教学思想逐渐被广大教师所认同，关注学生数学理解性学习的教学研究也备受重视。数学理解是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立新知识的个人心理表征，并不断完善和发展头脑中的知识网络，同时能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取和应用。数学理解性学习是指学生在理解基础上的数学学习，它不仅能将新知识与已有知识联系起来，并在原有知识网络基础上积极有效纳入新知识从而构建一个更为完整、丰富的知识网络，而且能将新知识网络中的知识、方法、思想等进行灵活迁移与应用。
《普通高中数学课程标准（实验）》指出，教学中应加强对基本概念的理解与掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿到高中教学的始终，帮助学生逐步加深理解。笔者主持“基于数学理解性学习的概念教学研究”的课题研究，正是针对目前概念教学的缺失，依据数学理解、数学理解性学习等理论，探寻有效的概念教学方式。最近一项成果《椭圆的定义》在市微课大赛中获奖，现整理出来与大家交流。
2 基于数学理解性学习的教学设计案例
2.1 创设情景，引入课题
教师：多媒体演示平面截圆锥、生活中椭圆实例（见课件）以及天体运动轨迹（如图1）；介绍历史故事——刁尼秀斯之耳：1943年7月9日，在西西里岛实施空降作战的盟军部分官兵不幸被俘获，德军将他们关押在一座岩洞监狱里。晚上，被俘的盟军官兵们偷偷聚集在岩洞最里面，小声议论越狱方案。奇怪的是他们周密的出逃计划竟被德军知晓，难道有人告密？被俘的盟军官兵们开始互相猜忌，这是怎么回事？原来，这个作为监狱的岩洞是古希腊西西里岛统治者请一位名叫刁尼秀斯的官员专门设计的，岩洞监狱采用椭圆形结构，这种特殊结构可以使犯人在里面小声议论的声音，经过椭圆反射清楚地传到洞口看守人的耳朵里。后来，人们把这种设计叫做“刁尼秀斯之耳”。故事反映了椭圆一个重要的光学性质（如图2），从椭圆一个焦点发出的声音、光或热，通过椭圆反射，可以全部汇聚到另一焦点处。利用这个性质，人们研制出许多重要的东西。可见，椭圆不仅在生活中普遍存在，而且应用广泛，下面一起来探索椭圆的相关知识（引入课题）。
设计意图：借助实例及动画演示，学生直观感知椭圆来源于现实生活；历史故事极大引发学生探究新知的兴趣，感悟数学与生活的联系。情境的创设，既自然渗透数学文化，揭示学习椭圆的必要性，又有效激活学生思维，对现象达到理解性认识，为下面探究奠定良好的认知基础。
2.2 实验探究，反思建构
教师：圆的定义是什么？我们是怎么画圆的？（学生答略）那么，椭圆又是怎样的点的集合？如何画出一个椭圆？请同学们拿出事先准备好的工具（细绳、纸板、图钉、铅笔）来做一个实验：取一条定长L的细绳，把它两端固定在纸板同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？如果把细绳的两端拉开一段距离分别固定在纸板的两点处，画出的又是什么图形？
（学生动手实验，稍后请代表发言并展示自己的作品。及时捕捉学生思维的亮点并表扬，同时借助几何画板演示实验（如图3））
设计意图：学生动手实验，操作简单，体会深刻，带来的收获绝非仅仅是一个“好玩”的“游戏”，更有意义的是学生追寻数学知识发生发展的探索之路，感悟“数学源于生活”。信息技术为学生提供一个理想的“数学实验”模拟情境，进一步加强对椭圆的直观感知。通过实验，学生直观感悟椭圆概念形成之中隐藏的数学思想，有利于全面、深刻地理解椭圆概念的本质。
教师：请思考，在画出一个椭圆过程中，细绳两端位置是固定的还是运动的？笔尖到两端点的距离之和是什么？绳子长度与两定点间距离有什么关系？怎样才能画出一个椭圆？
（学生归纳，略）
设计意图：概念的形成是一个直观感知，提炼加工并抽象概括的过程，在椭圆概念生成的关节点处及时追问，促使学生进行深入反思与建构，经历由具体实例观察发现、抽象概括出椭圆定义的思维过程。提问有利于对学生思维实施监控，准确把握学生理解的程度，以便及时对教学作出更有利于学生理解的调整。
2.3 抽象概括，形成概念
教师：请归纳椭圆的定义并解释其中的要点。
（学生尝试归纳，教师适当补充）
教师（追问）：椭圆上任意一点满足的几何条件是什么？
设计意图：学生尝试用语言表达对椭圆概念的直观认识与理解，并对所叙述的内容作出解释。在这种师生互相交流、对话合作的数学活动中，学生积极思考、主动理解，同时充分暴露他们理解上的缺限，教师的适时点拨，又可以引导学生重新思考一些理解不够到位的知识，使教学过程以动态生成的方式有效推进，学生在不断理解的基础上学习，加深对概念的认识。
2.4 变式探究，深化理解
问题1 已知平面内两点A(-3，0)，B(3，0)，若动点M满足|MA|+|MB|=10，则点M的轨迹是什么？
变式：若动点M满足|MA|+|MB|=6，则点M的轨迹又是什么？
问题2 如图4，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么，为什么？
变式：如果将点A移到圆上、圆外，则点Q的轨迹还是椭圆吗？
（学生分析并交流讨论，教师借助几何画板演示）
设计意图：对椭圆概念的理解是一个循序渐进的过程，学生要经过一系列练习与拓展才能真正领悟。问题2需要学生具有较强的分析问题与解决问题的能力，能够从题设背景中挖掘出构成椭圆的几何条件，考查学生是否真正理解了椭圆概念。变更题设中“点A在圆内”条件的限制，激励学生开放探究以挖掘背景的丰富内涵。借助变式探究，使学生不断领悟椭圆概念的本质，体验数形结合等主要思想，崇尚数学的理性思维，体会数学的美学意义，达到对概念的深刻理解。
问题3 准备一张圆形纸片，如图5，在圆内任取不同于圆心O的一点A，将纸片折起，使圆周过点A，然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来），这样继续折下去，得到若干折痕。观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？
（学生拿出事先准备好的圆形纸片进行折纸试验，发现折痕围成的轮廓是个椭圆，如图6）
教师：感觉折痕上某一点的轨迹是椭圆，能确定是哪一点并证明吗？
（学生经过观察、分析、抽象与判断，发现折纸试验与问题2背景相同。如图5，设点P为圆周上任意一点，折起后与点A重合，则折痕所在的直线即为线段AP的垂直平分线l，设直线l与线段OP相交于点Q，借助几何画板演示点Q的轨迹）
教师（追问）：若平面内动点Q到两定点O、A的距离之和等于常数r(大于|OA|)，你能否由问题2得到启发，利用几何方法确定点Q的位置？
（学生可能有别的想法，教师引导学生利用问题2结论分析：因为|QO|+|QA|为定值r，不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段OQ的延长线上取点P，使|QP|=|QA|，则|QO|+|QA|为定值r可转化为|OP|为定值r，于是点P的轨迹就是以O为圆心，|OP|为半径的圆。由此得出确定点Q的方法：如图7，作以点O为圆心，r为半径的圆O，在圆O上任取点P，作线段AP的垂直平分线与线段OP的交点，即为符合条件的点Q）
设计意图：“折纸小世界，思维大舞台”，折纸活动引入课堂，是数学回归生活的载体之一，同时数学不仅要回归生活，更要高于生活。通过追问椭圆上点的几何形成思路来揭示椭圆的形成过程，感知问题2的背景内涵，体会椭圆与圆之间的联系（背景实质上提供了一种由圆生成椭圆的几何作法，这正是折纸试验所蕴涵的道理），培养逆向思维能力，提高几何作图能力，体会运动与变化、变与不变对立统一的辩证观念。通过折纸实验，学生从一个新的角度重新分析和反思建构，深化对新知的理解。学生理解知识不应只局限于知识自身，还要理解与其他知识之间的联系，才能不断加强学生所理解数学知识的结构化与系统化，提高学生对数学的认知水平并不断建构新的认知结构，这样的理解才更深刻、灵活而具有迁移的特性。
3 对基于数学理解性学习的概念教学设计的体会
“基于数学理解性学习的概念教学”要求将课堂教学扎根于学生的已有经验之中，关注学生在经验世界中表现出来的对概念理解的最本真的状态，并把它作为促使学生概念转变的重要基点；根据学生思维和认知发展的变化，及时地、有目的地、有重点地设置动态变化的外部情境，既让学生暴露自己知识理解的真实状态，也促使学生连贯地反思自己理解上的特征与不足，从而推动理解不断地深入发展；通过教学活动，让学生自然地吸收、内化、生成一个良好的知识结构组块，经历从经验——数学本质——再回到经验——再上升到数学本质这样一个巡回往复、不断上升的过程。
3.1 教学要为促进学生的数学理解而设计
教学首先需要精心设计，教学设计是运用系统方法对各种课程资源进行有机整合，对教学过程中相互联系的各个部分做出整体安排的一种构想，即为达到教学目标，对教什么、怎样教以及达到什么结果所进行的策划。新课程倡导要密切关注学生的发展，要在教学中真正确立学生的主体地位并将学生的理解视为重要的关注点。同时，教师不只是在理念上确立关注学生的理解，在实践上也要相应具有真正面向学生的灵活的、被教师深刻理解的教学方法论，使课堂教学真正成为支撑学生的数学理解不断发展的支点。因此教师不仅要在宏观上有机整合各种课程资源，系统考虑教学过程，而且在知识的关节点处也要进行细微设计，帮助学生全面理解和认识数学，有效突出重点、破解难点。要注重创设适当的教学情境，选取有助于反映相应数学内容本质特征、有助于学生对数学的理解和认识、符合学生心理特征和认知水平的素材，在学生思维的最近发展区开展探究，使学生经历数学知识的发生、发展及形成的过程，为促进学生的数学理解而精雕细琢。
3.2 教学设计要体现概念自然的、水到渠成的形成过程
《普通高中数学课程标准（实验）》提出：概念教学要返璞归真，努力揭示概念的发生发展过程及其本质。“人教A版”主编也曾寄语：“数学概念、数学方法和数学思想的起源和发展都是自然的。”概念教学的核心就是“概括”，即以一些典型的事例为载体，引导学生进行分析、归纳、抽象、概括等一系列思维活动，从而获得概念。学生亲身经历概念的自然形成过程是概念教学的必由之路。概念教学要体现其自然的、水到渠成的形成过程，首先要让学生感觉到引入概念的必要性、合理性。那种不经任何铺垫就直接给出概念，不经历概念的形成过程，搞“一个定义三项注意”的概念教学是不行的。概念教学的自然和水到渠成包含两方面：一是知识的逻辑顺序自然；二是学生心理逻辑主要是思维过程的自然。本案例通过历史故事、学生动手实验以及几何画板动画演示等数学活动，不仅为学生探究创设有利于数学理解的教学情境，而且学生经历实验探究、变式拓展等一系列直观感知、抽象概括、反思建构等数学理解性学习的思维历程，最终促使学生深刻理解所学知识，实现概念自然的、水到渠成的形成过程。
参考文献
[1] 李锋.回归概念本质 发展双基教育——一道教科书习题的探究性教学与反思[J].中学数学教学参考（上旬），2010（4）：25–29.
[2] 李锋.自然的、水到渠成的概念教学——“抛物线及其标准方程”课堂引入案例分析及思考 [J].中学数学教学参考（上旬）,2011（6）：23–25.
[3] 李俊. 基于数学理解性学习的教学设计探究——以“数列的概念及其表示”的教学为例[J].中学数学教学参考（上旬），2014（3）：16–18.
[4] 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.
[5] 毛良忠.为理解而教“懂而不会”现象的再透析[J].中学数学教学参考（上旬），2013（1-2）：34–36.
[6] 李锋. 回归教材 突出本质 注重核心 强调探究——近3年福建省数学高考理科圆锥曲线综合题分析及启示[J].中学教研（数学），2014（12）：40–43.